Уважаемый читатель!
Вашему вниманию представляю монографию
Теория неограниченностей.
Философско-алгебраическое обоснование анализа бесконечно-малых величин.
В работе, благодаря использованию диалектического подхода Гегеля, показано, что натуральный ряд является переходным состоянием между конечным и бесконечным, по сути счетно неограниченным. В кольце сходящихся последовательностей, построен идеал J и получена интерпретация понятия «бесконечно малая величина» в факторкольце PJ, как смежные классы неограниченно малых последовательностей по идеалу J. Введены определения аддитивного и мультипликативного (квази)подобия, благодаря которым объясняется когда с неограниченно малыми последовательностями обращаются как с нулями, пренебрегая ими, а когда на них можно делить. Дж. Беркли был бы удовлетворен. Отделены понятия числа и точки на вещественной прямой. Рассматривая сходящиеся последовательности как сходящиеся итерационные процессы, были доказаны принцип вложенных отрезков, и «аксиома непрерывности» Дедекинда. Переосмыслена конструкция «Отель Гильберта». Введено понятие степенного квазиподобия, на основе которого показано, что вещественные числа всего лишь всюду плотны на вещественной прямой. А непрерывность определялась лишь с точностью до «бесконечно малых величин». Осуществлена классификация и построена арифметика неограниченностей. Показано, что конструкции построения вещественных чисел Вейерштрасса и Кантора вполне вписываются в построенную в работе конструкцию. Показана некорректность построения множества Витали. Объяснены парадоксы Кавальери, Банаха-Тарского, а также апории Зенона Элейского.
В первом семестре 1980 года нам, первокурсникам математического факультета Омского государственного университета, преподаватель кафедры математического анализа Ю.В.Хурумов провел спецсеминар по вопросам обоснования математики, на котором мы познакомились с Канторовской теорией множеств. Здесь я впервые узнал, о противоречиях с которыми столкнулась эта теория. Ни до, ни после, насколько я знаю, этого спецсеминара больше не было.
Небольшой отрывок из введения
Любые притязания на обоснование математики вызывают у специалистов определенный скепсис, и это справедливо. За достаточно продолжительное время сложились некие представления, которые варьируются от некорректности вопроса обоснования, так как математика не требует обоснования и её обоснование состоит в эффективном применении, до неразрешимости этого вопроса в принципе. Сама постановка вопроса обоснования математики носит неопределенный и достаточно широкий, а потому расплывчатый характер. Прежде всего, большинство проблем и противоречий связано с понятием бесконечности. Иже с ним идет понятие «бесконечно малая величина». Считается, что теория пределов справилась с этим понятием, но на самом деле она лишь нивелировала это понятие.
Обоснование математики лежит через обоснование анализа бесконечно малых величин. По крайней мере, без этого обоснования невозможно обосновать математику. Начну с примера, который заинтересует читателя.
Когда я спрашиваю у студентов и школьников-олимпиадников, с которыми занимаюсь много лет, верно ли равенство 0,(9) = 1, практически всегда отвечают, что нет. Тогда я спрашиваю, как выглядит дробь 1/3 в десятичной записи?
Ответ, конечно 0,(3). А если умножим обе части на 3? Тогда вроде верно, но уже возникают сомнения: а верно ли второе равенство? В кольце сходящихся числовых последовательностей P разность 1 – 0,(9) можно интерпретировать как последовательность (0,1; 0,01; …; 0,0 … 01; … ) общий член которой имеет вид 10 -n при неограниченном увеличении n. Но в кольце частных S-1, где S состоит из сходящихся последовательностей с положительными членами, последовательность (0,1; 0,01; …; 0,0 … 01; … ) обратима, в отличие от последовательности, состоящей из одних нулей. То есть уже отличается чем-то. В поле вещественных чисел это (эквивалентное) равенство верно, так как осуществляется предельный переход (как бы перепрыгиваем через бесконечно малую величину вида 0,(0)1, если применить не совсем корректную, но очень красноречивую запись, где 1 идет после неограниченного количества нулей. В работе всё это рассмотрено более аккуратно.